График функции y x2 2x 1. Преобразования графиков с модулем

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 74. Функции у = х n при п = -1 и п = -2

1. Функция у = х -1 . Областью определения функции у = х -1 , или у = 1 / x , является множество всех действительных чисел, кроме нуля. Эта функция нечетна, так как 1 / - x =- 1 / x . Поэтому для построения ее графика достаточно составить таблицу значений только для положительных значений аргумента х :

Используя эту таблицу и свойство нечетности функции у = х -1 , построим ее график (рис. 97). Этот график, как видно из рисунка, состоит из двух кривых, одна из которых целиком находится в первом, а другая - в третьем координатном углу. Они симметричны друг другу относительно начала координат. Вместе эти кривые называются гиперболой , а каждая из кривых в отдельности - ветвью гиперболы .

Заметим, что при всех положительных значениях x : функция у = х -1 монотонно убывает. То же верно и для всех отрицательных значений х . Однако былo бы ошибочно утверждать, что эта функция является монотонно убывающей всюду. Например, значению аргумента x 1 = - 1 соответствует значение функции y 1 = -1, а значению аргумента x 2 = +1 - значение функции y 2 = + 1. Имеем: x 1 > x 2 и y 2 > y 1 . Для монотонно убывающей функции из x 1 > x 2 должно вытекать y 2 < y 1. Но здесь это условие не выполняется. Следовательно, говорить, что функция у = х -1 всюду монотонно убывает, нельзя. Однако можно сказать, что эта функция убывает на любом отрезке, на котором она определена (то есть на любом отрезке оси х , не содержащем нуля).

Функция у = х -1 принимает любые числовые значения, кроме нуля. Значит, областью ее изменения, так же как и областью определения, является множество всех действительных чисел, кроме нуля.

Следует обратить внимание на поведение функции у = х -1 вблизи точки х = 0. Если значения аргумента х неограниченно приближаются к нулю, оставаясь положительными, то соответствующие значения функции у неограниченно растут. Если же значения аргумента х неограниченно приближаются к нулю, оставаясь отрицательными, то соответствующие значения функции у неограниченно убывают.

2. Функция у = х -2 . Областью определения функции у = х -2 , или , является множество всех действительных чисел, кроме нуля. Так как

то функция у = х -2 четна. Поэтому для построения графика этой функции достаточно составить таблицу ее значений только для положительных значений х :

Значения этой функции при отрицательных х равны ее значениям при соответствующих положительных х .

Например.(- 1 / 4) -2 = (1 / 4) -2 =16. Используя составленную таблицу и свойство четности функции у = х -2 , построим ее график (рис. 98).

Он состоит из двух ветвей, одна из которых целиком расположена в первом, а другая- во втором координатном углу. Эти кривые симметричны друг другу относительно оси ординат. Необходимо подчеркнуть, что ни одну из них в отдельности нельзя считать графиком функции у = х -2 . Только взятые вместе, они образуют этот график.

Функция у = х -2 , или , принимает только положительные значения. Поэтому график ее расположен целиком свыше оси х .

Когда значения аргумента х неограниченно растут (или неограниченно убывают), соответствующие значения функции у неограниченно приближаются к нулю, оставаясь все время положительными. При неограниченном приближении значений аргумента х к нулю (как слева, так и справа) соответствующие значения функции у неограниченно растут. Областью изменения функции у = х -2 является совокупность всех положительных чисел.

Упражнение

538. Построить графики функций:

a) y = (x - l) -1 ; в) у = |x -1 |; д) у = x -2 -2;

б) у = (х + 2) -1 ; г) y = | x | -1 ; е)

Областью определения функций является множество действительных чисел, кроме нуля. X Y y = x -1 Свойства функции у = х-1 и особенности ее графика. 1. Если х > 0, то у >0; если х 0, то у >0; если х "> 0, то у >0; если х "> 0, то у >0; если х " title="Областью определения функций является множество действительных чисел, кроме нуля. X Y y = x -1 Свойства функции у = х-1 и особенности ее графика. 1. Если х > 0, то у >0; если х "> title="Областью определения функций является множество действительных чисел, кроме нуля. X Y y = x -1 Свойства функции у = х-1 и особенности ее графика. 1. Если х > 0, то у >0; если х ">

0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неогра" title="3.Если значения аргумента при x>0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неогра" class="link_thumb"> 4 3.Если значения аргумента при x>0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неограниченно возрастают (y +) X Y y = x -1 0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неогра"> 0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неограниченно возрастают (y +) X Y y = x -1"> 0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неогра" title="3.Если значения аргумента при x>0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неогра"> title="3.Если значения аргумента при x>0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неогра">

Степенной называется функция вида y=x n (читается как y равно х в степени n), где n – некоторое заданное число. Частными случаями степенных функций является функции вида y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и многие другие. Расскажем подробнее о каждой из них.

Линейная функция y=x 1 (y=x)

График прямая линия, проходящая через точку (0;0) под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.

График представлен ниже.

Основные свойства линейной функции:

• Функция возрастающая и определена на всей числовой оси.
• Не имеет максимального и минимального значений.

Квадратичная функция y=x 2

Графиком квадратичной функции является парабола.

Основные свойства квадратичной функции:

• 1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
• 2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
• 3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }